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Ingenieurmathematik I

von PD Dr. Johannes Brasche
im Wintersemester 2010/2011

Vorlesungskennung: W 0110

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Institut für Mathematik oder im Vorlesungsverzeichnis

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Vorlesungen


Das Federpendel

Vorlesung Nr. 1
Aufgezeichnet am 25.10.2010 | 7.609 Aufrufe

01:13 Std

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Inhalt:
1. Das Federpendel
- Das Modell
- Herleitung der Pendelgleichung

1.2 Hilfsmittel
- Die Exponentialfunktion
- Ableitungsregeln

1.3 Lösung der Pendelgleichung und Anfangswertprobleme
- Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel

Das Federpendel und Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr. 2
Aufgezeichnet am 26.10.2010 | 2.358 Aufrufe

01:28 Std

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Inhalt:
1.3 Lösungen der Pendelgleichung
- Aus Lösungen konstruiert man weitere Lösungen
- Das Anfangswertproblem
- Ein Beispiel zur starken Dämpfung
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr. 3
Aufgezeichnet am 1.11.2010 | 2.507 Aufrufe

01:28 Std

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
- Gaußsche Zahlenebene und Grundbegriffe
- Kosinus und Sinus
- Addtionstheoreme und komplexe Schreibweise
- Polarform einer komplexen Zahl
- Quadratische Gleichungen

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr. 4
Aufgezeichnet am 2.11.2010 | 1.146 Aufrufe

01:26 Std

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung Pendelgleichung
- Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Von komplexen zu reellen Lösungen
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr. 5
Aufgezeichnet am 8.11.2010 | 893 Aufrufe

01:30 Std

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung: Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel für ein Anfangswertproblem
- Ein anderer Lösungsweg zum Beispiel
- Zusammenfassung zur Pendelgleichung

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr. 6
Aufgezeichnet am 9.11.2010 | 2.037 Aufrufe

01:31 Std

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Inhalt:
3. Folgen und Reihen

3.1 Motivation
- Das Anfangswertproblem y'=y, y(0) = 1
- Potenzreihenansatz

3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Notation
- Ein Problem zur Illsutration
- Satz über die vollständige Induktion
- Lösung des Problems

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr. 7
Aufgezeichnet am 15.11.2010 | 1.020 Aufrufe

01:29 Std

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Inhalt:
3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Geometrische Summenformel
- Bernoullische Ungleichung
- Beispiel für eine Rekursionsformel, Fakultäten
- Koeffizienten der e-Funktion
- Ausblick: Approximation der e-Funktion

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr. 8
Aufgezeichnet am 16.11.2010 | 989 Aufrufe

01:29 Std

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Folgen
- Divergenz gegen unendlich
- Beispiele und das Archimedische Axiom
- Definition des Grenzwerts
- Grenzwertsätze

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr. 9
Aufgezeichnet am 22.11.2010 | 716 Aufrufe

01:27 Std

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Wiederholung
- weitere Grenzwertsätze
- Summen, Produkte und Quotienten von Folgen
- Beispiele
- Partialsummenfolgen (Reihen)
- Die geometrische Reihe
- Grenzwert von Brüchen

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr. 10
Aufgezeichnet am 23.11.2010 | 704 Aufrufe

01:27 Std

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Inhalt:
3.3 Folgen und Reihen
-Grenzwertsätze: monotone Folgen, Ungleichungen
- Quotientenkriterium
- Beispiel zum Quotientenkriterium
- Abschätzung von e
- Alternierende Reihen
- Beispiel zu alternierenden Reihen

Stetigkeit

Vorlesung Nr. 11
Aufgezeichnet am 29.11.2010 | 859 Aufrufe

01:24 Std

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Inhalt:
4. Stetigkeit
- Motivation
- Intervallhalbierungsverfahren
- Motivation des Stetigkeitsbegriff, Definition ''stetig''
- Zwischenwertsatz
- Summen, Produkte, Quotienten stetiger Funktionen

Stetigkeit und Differenzieren

Vorlesung Nr. 12
Aufgezeichnet am 30.11.2010 | 780 Aufrufe

01:31 Std

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Inhalt:
4. Stetigkeit

- Stetigkeit verketteter Funktionen
- Urbild offener Intervalle
- Extrema

5. Differenzieren

- 5.1 Einleitung
- 5.2 Geraden
- 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

Differenzieren

Vorlesung Nr. 13
Aufgezeichnet am 6.12.2010 | 760 Aufrufe

01:25 Std

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Wiederholung
- Beispiele
- Summen- und Produktregel
- Ableitung von Polynomen
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Beispiel zur Ketten- und Quotientenregel
- Tangens

Differenzieren

Vorlesung Nr. 14
Aufgezeichnet am 7.12.2010 | 408 Aufrufe

01:21 Std

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Kettenregel
- injektiv, Umkehrfunktion
- Beispiele: Wurzelfunktion, e-Funktion
- Ableitung der Wurzelfunktion

Differenzieren

Vorlesung Nr. 15
Aufgezeichnet am 13.12.2010 | 384 Aufrufe

01:30 Std

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Inhalt:
5.4 Anschauliche Bedeutung der Ableitung

5.5 Die Umkehrfunktion

- f(x+), f(x-)
- Wertebereich monotoner Funktionen
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Tangens
- Arcustangens

Differenzieren

Vorlesung Nr. 16
Aufgezeichnet am 3.1.2011 | 354 Aufrufe

01:31 Std

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- lokale Extrema
-Mittelwertsatz
- Monotoniebereiche
- konvex (linksgekrümmt)

Differenzieren

Vorlesung Nr. 17
Aufgezeichnet am 4.1.2011 | 361 Aufrufe

01:26 Std

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- Natürlicher Logarithmus
- Allgemeine Potenzen
- Ableitung von ax
- Logartihmus zur Basis a
- Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
- ex als Grenzwert bei Verzinsung

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr. 18
Aufgezeichnet am 10.1.2011 | 884 Aufrufe

01:29 Std

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1 Stammfunktionen

- Einige Beispiele
- Partielle Integration
- Elementare Transformationen, Linearität
- Substitutionsregel
- Das bestimmte Integral

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr. 19
Aufgezeichnet am 11.1.2011 | 403 Aufrufe

01:29 Std

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1. Stammfunktionen

- Beispiele für bestimmte Integrale, Flächeninhalt des Kreises
- 6.2 y' + f y = g
- Beispiel

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr. 20
Aufgezeichnet am 17.1.2011 | 389 Aufrufe

01:27 Std

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.2 y' +f y = g

- Anleitung zur Lösung von y' + f y = g
- Ein Anfangswertproblem mit vielen Lösungen
- 6.3 Eindeutigkeit der Lösung bei der Pendelgleichung
- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Differenzialgleichungen und Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr. 21
Aufgezeichnet am 18.1.2011 | 358 Aufrufe

01:27 Std

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.4 Trennung der Variablen 7. Gleichmäßige Konvergenz

- Einführendes Beispiel 1
- Beispiel 2: Explosion der Lösung
- Beispiel 3: AWP nicht eindeutig lösbar
- Definition der gleichmäßigen Konvergenz
- Stetigkeit der Grenzfunktion

Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr. 22
Aufgezeichnet am 24.1.2011 | 307 Aufrufe

01:28 Std

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz

- Wiederholung
- Differenzierbarkeit der Grenzfunktion
- e- Funktion
- Sinus und Kosinus
- Tabelle zu Konvergenzregeln
- Ableitung von Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzradius

Gleichmäßige Konvergenz und Taylorformeln

Vorlesung Nr. 23
Aufgezeichnet am 25.1.2011 | 378 Aufrufe

01:29 Std

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz 8. Taylorformeln

- Wiederholung
- Cauchy-Folgen
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Konvergenz von Stammfunktionen
- Äquivalenz der Definitionen von Sinus (Kosinus)
- Taylorformeln

Taylorformeln

Vorlesung Nr. 24
Aufgezeichnet am 31.1.2011 | 446 Aufrufe

01:28 Std

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Inhalt:
8. Taylorformeln

- Bilder zur Taylorapproximation
- Taylorformeln
- l'Hospital
- Beweis der Taylorformeln
- Taylorpolynome und - Reihen
- Beispiel: ln(1+x)

Das Integral

Vorlesung Nr. 25
Aufgezeichnet am 1.2.2011 | 786 Aufrufe

01:28 Std

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Inhalt:
9. Das Integral

- Ziele
- Approximation durch Polygonzüge
- Herleitung der Trapezsummenformel
- Integral und Flächeninhalt
- Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Beispiel

Das Integral

Vorlesung Nr. 26
Aufgezeichnet am 7.2.2011 | 598 Aufrufe

01:31 Std

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Inhalt:
9. Das Integral

- Fortsetzung des Beispiels
- Beweis der Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Längen von Kurven

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