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Ingenieurmathematik I


Kamera Anja Michaela Kaiser
von PD Dr. Johannes Brasche

im Wintersemester 2010/2011

Vorlesungskennung: W 0110

Die Studierenden sollen die grundlegenden Tatsachen aus der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie kennen lernen. Damit zusammenhängende Standardmethoden werden bereitgestellt und eingeübt. Ein ggf. später notwendiges Literaturstudium sollte aufgrund der Basiskenntnisse möglich sein.

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Institut für Mathematik oder im Vorlesungsverzeichnis

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Vorlesungen


Das Federpendel

Vorlesung Nr.1
Aufgezeichnet am 25.10.2010 | 9.317 Aufrufe

01:13 h

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Inhalt:
1. Das Federpendel
- Das Modell
- Herleitung der Pendelgleichung

1.2 Hilfsmittel
- Die Exponentialfunktion
- Ableitungsregeln

1.3 Lösung der Pendelgleichung und Anfangswertprobleme
- Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel

Das Federpendel und Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.2
Aufgezeichnet am 26.10.2010 | 2.881 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
1.3 Lösungen der Pendelgleichung
- Aus Lösungen konstruiert man weitere Lösungen
- Das Anfangswertproblem
- Ein Beispiel zur starken Dämpfung
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.3
Aufgezeichnet am 01.11.2010 | 3.050 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
- Gaußsche Zahlenebene und Grundbegriffe
- Kosinus und Sinus
- Addtionstheoreme und komplexe Schreibweise
- Polarform einer komplexen Zahl
- Quadratische Gleichungen

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.4
Aufgezeichnet am 02.11.2010 | 1.481 Aufrufe

01:26 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung Pendelgleichung
- Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Von komplexen zu reellen Lösungen
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.5
Aufgezeichnet am 08.11.2010 | 1.131 Aufrufe

01:30 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung: Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel für ein Anfangswertproblem
- Ein anderer Lösungsweg zum Beispiel
- Zusammenfassung zur Pendelgleichung

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.6
Aufgezeichnet am 09.11.2010 | 2.479 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
3. Folgen und Reihen

3.1 Motivation
- Das Anfangswertproblem y'=y, y(0) = 1
- Potenzreihenansatz

3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Notation
- Ein Problem zur Illsutration
- Satz über die vollständige Induktion
- Lösung des Problems

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.7
Aufgezeichnet am 15.11.2010 | 1.260 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Geometrische Summenformel
- Bernoullische Ungleichung
- Beispiel für eine Rekursionsformel, Fakultäten
- Koeffizienten der e-Funktion
- Ausblick: Approximation der e-Funktion

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.8
Aufgezeichnet am 16.11.2010 | 1.269 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Folgen
- Divergenz gegen unendlich
- Beispiele und das Archimedische Axiom
- Definition des Grenzwerts
- Grenzwertsätze

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.9
Aufgezeichnet am 22.11.2010 | 862 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Wiederholung
- weitere Grenzwertsätze
- Summen, Produkte und Quotienten von Folgen
- Beispiele
- Partialsummenfolgen (Reihen)
- Die geometrische Reihe
- Grenzwert von Brüchen

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.10
Aufgezeichnet am 23.11.2010 | 864 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
3.3 Folgen und Reihen
-Grenzwertsätze: monotone Folgen, Ungleichungen
- Quotientenkriterium
- Beispiel zum Quotientenkriterium
- Abschätzung von e
- Alternierende Reihen
- Beispiel zu alternierenden Reihen

Stetigkeit

Vorlesung Nr.11
Aufgezeichnet am 29.11.2010 | 1.041 Aufrufe

01:24 h

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Inhalt:
4. Stetigkeit
- Motivation
- Intervallhalbierungsverfahren
- Motivation des Stetigkeitsbegriff, Definition ''stetig''
- Zwischenwertsatz
- Summen, Produkte, Quotienten stetiger Funktionen

Stetigkeit und Differenzieren

Vorlesung Nr.12
Aufgezeichnet am 30.11.2010 | 987 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
4. Stetigkeit

- Stetigkeit verketteter Funktionen
- Urbild offener Intervalle
- Extrema

5. Differenzieren

- 5.1 Einleitung
- 5.2 Geraden
- 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

Differenzieren

Vorlesung Nr.13
Aufgezeichnet am 06.12.2010 | 941 Aufrufe

01:25 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Wiederholung
- Beispiele
- Summen- und Produktregel
- Ableitung von Polynomen
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Beispiel zur Ketten- und Quotientenregel
- Tangens

Differenzieren

Vorlesung Nr.14
Aufgezeichnet am 07.12.2010 | 521 Aufrufe

01:21 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Kettenregel
- injektiv, Umkehrfunktion
- Beispiele: Wurzelfunktion, e-Funktion
- Ableitung der Wurzelfunktion

Differenzieren

Vorlesung Nr.15
Aufgezeichnet am 13.12.2010 | 472 Aufrufe

01:30 h

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Inhalt:
5.4 Anschauliche Bedeutung der Ableitung

5.5 Die Umkehrfunktion

- f(x+), f(x-)
- Wertebereich monotoner Funktionen
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Tangens
- Arcustangens

Differenzieren

Vorlesung Nr.16
Aufgezeichnet am 03.01.2011 | 451 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- lokale Extrema
-Mittelwertsatz
- Monotoniebereiche
- konvex (linksgekrümmt)

Differenzieren

Vorlesung Nr.17
Aufgezeichnet am 04.01.2011 | 439 Aufrufe

01:26 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- Natürlicher Logarithmus
- Allgemeine Potenzen
- Ableitung von ax
- Logartihmus zur Basis a
- Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
- ex als Grenzwert bei Verzinsung

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.18
Aufgezeichnet am 10.01.2011 | 1.081 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1 Stammfunktionen

- Einige Beispiele
- Partielle Integration
- Elementare Transformationen, Linearität
- Substitutionsregel
- Das bestimmte Integral

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.19
Aufgezeichnet am 11.01.2011 | 521 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1. Stammfunktionen

- Beispiele für bestimmte Integrale, Flächeninhalt des Kreises
- 6.2 y' + f y = g
- Beispiel

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.20
Aufgezeichnet am 17.01.2011 | 481 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.2 y' +f y = g

- Anleitung zur Lösung von y' + f y = g
- Ein Anfangswertproblem mit vielen Lösungen
- 6.3 Eindeutigkeit der Lösung bei der Pendelgleichung
- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Differenzialgleichungen und Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr.21
Aufgezeichnet am 18.01.2011 | 432 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.4 Trennung der Variablen 7. Gleichmäßige Konvergenz

- Einführendes Beispiel 1
- Beispiel 2: Explosion der Lösung
- Beispiel 3: AWP nicht eindeutig lösbar
- Definition der gleichmäßigen Konvergenz
- Stetigkeit der Grenzfunktion

Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr.22
Aufgezeichnet am 24.01.2011 | 369 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz

- Wiederholung
- Differenzierbarkeit der Grenzfunktion
- e- Funktion
- Sinus und Kosinus
- Tabelle zu Konvergenzregeln
- Ableitung von Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzradius

Gleichmäßige Konvergenz und Taylorformeln

Vorlesung Nr.23
Aufgezeichnet am 25.01.2011 | 449 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz 8. Taylorformeln

- Wiederholung
- Cauchy-Folgen
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Konvergenz von Stammfunktionen
- Äquivalenz der Definitionen von Sinus (Kosinus)
- Taylorformeln

Taylorformeln

Vorlesung Nr.24
Aufgezeichnet am 31.01.2011 | 533 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
8. Taylorformeln

- Bilder zur Taylorapproximation
- Taylorformeln
- l'Hospital
- Beweis der Taylorformeln
- Taylorpolynome und - Reihen
- Beispiel: ln(1+x)

Das Integral

Vorlesung Nr.25
Aufgezeichnet am 01.02.2011 | 938 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
9. Das Integral

- Ziele
- Approximation durch Polygonzüge
- Herleitung der Trapezsummenformel
- Integral und Flächeninhalt
- Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Beispiel

Das Integral

Vorlesung Nr.26
Aufgezeichnet am 07.02.2011 | 703 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
9. Das Integral

- Fortsetzung des Beispiels
- Beweis der Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Längen von Kurven

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