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Ingenieurmathematik I

von PD Dr. Johannes Brasche

im Wintersemester 2010/2011

Vorlesungskennung: W 0110

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Institut für Mathematik oder im Vorlesungsverzeichnis

31.733 Aufrufe

Vorlesungen


Das Federpendel

Vorlesung Nr.1
Aufgezeichnet am 25.10.2010 | 8.473 Aufrufe

01:13 h

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Inhalt:
1. Das Federpendel
- Das Modell
- Herleitung der Pendelgleichung

1.2 Hilfsmittel
- Die Exponentialfunktion
- Ableitungsregeln

1.3 Lösung der Pendelgleichung und Anfangswertprobleme
- Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel

Das Federpendel und Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.2
Aufgezeichnet am 26.10.2010 | 2.611 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
1.3 Lösungen der Pendelgleichung
- Aus Lösungen konstruiert man weitere Lösungen
- Das Anfangswertproblem
- Ein Beispiel zur starken Dämpfung
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.3
Aufgezeichnet am 01.11.2010 | 2.792 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
- Gaußsche Zahlenebene und Grundbegriffe
- Kosinus und Sinus
- Addtionstheoreme und komplexe Schreibweise
- Polarform einer komplexen Zahl
- Quadratische Gleichungen

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.4
Aufgezeichnet am 02.11.2010 | 1.316 Aufrufe

01:26 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung Pendelgleichung
- Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Von komplexen zu reellen Lösungen
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

Komplexe Zahlen

Vorlesung Nr.5
Aufgezeichnet am 08.11.2010 | 1.010 Aufrufe

01:30 h

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Inhalt:
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung: Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel für ein Anfangswertproblem
- Ein anderer Lösungsweg zum Beispiel
- Zusammenfassung zur Pendelgleichung

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.6
Aufgezeichnet am 09.11.2010 | 2.272 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
3. Folgen und Reihen

3.1 Motivation
- Das Anfangswertproblem y'=y, y(0) = 1
- Potenzreihenansatz

3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Notation
- Ein Problem zur Illsutration
- Satz über die vollständige Induktion
- Lösung des Problems

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.7
Aufgezeichnet am 15.11.2010 | 1.136 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Geometrische Summenformel
- Bernoullische Ungleichung
- Beispiel für eine Rekursionsformel, Fakultäten
- Koeffizienten der e-Funktion
- Ausblick: Approximation der e-Funktion

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.8
Aufgezeichnet am 16.11.2010 | 1.122 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Folgen
- Divergenz gegen unendlich
- Beispiele und das Archimedische Axiom
- Definition des Grenzwerts
- Grenzwertsätze

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.9
Aufgezeichnet am 22.11.2010 | 788 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
3.3 Grenzwerte
- Wiederholung
- weitere Grenzwertsätze
- Summen, Produkte und Quotienten von Folgen
- Beispiele
- Partialsummenfolgen (Reihen)
- Die geometrische Reihe
- Grenzwert von Brüchen

Folgen und Reihen

Vorlesung Nr.10
Aufgezeichnet am 23.11.2010 | 795 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
3.3 Folgen und Reihen
-Grenzwertsätze: monotone Folgen, Ungleichungen
- Quotientenkriterium
- Beispiel zum Quotientenkriterium
- Abschätzung von e
- Alternierende Reihen
- Beispiel zu alternierenden Reihen

Stetigkeit

Vorlesung Nr.11
Aufgezeichnet am 29.11.2010 | 957 Aufrufe

01:24 h

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Inhalt:
4. Stetigkeit
- Motivation
- Intervallhalbierungsverfahren
- Motivation des Stetigkeitsbegriff, Definition ''stetig''
- Zwischenwertsatz
- Summen, Produkte, Quotienten stetiger Funktionen

Stetigkeit und Differenzieren

Vorlesung Nr.12
Aufgezeichnet am 30.11.2010 | 898 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
4. Stetigkeit

- Stetigkeit verketteter Funktionen
- Urbild offener Intervalle
- Extrema

5. Differenzieren

- 5.1 Einleitung
- 5.2 Geraden
- 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

Differenzieren

Vorlesung Nr.13
Aufgezeichnet am 06.12.2010 | 858 Aufrufe

01:25 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Wiederholung
- Beispiele
- Summen- und Produktregel
- Ableitung von Polynomen
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Beispiel zur Ketten- und Quotientenregel
- Tangens

Differenzieren

Vorlesung Nr.14
Aufgezeichnet am 07.12.2010 | 468 Aufrufe

01:21 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Kettenregel
- injektiv, Umkehrfunktion
- Beispiele: Wurzelfunktion, e-Funktion
- Ableitung der Wurzelfunktion

Differenzieren

Vorlesung Nr.15
Aufgezeichnet am 13.12.2010 | 429 Aufrufe

01:30 h

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Inhalt:
5.4 Anschauliche Bedeutung der Ableitung

5.5 Die Umkehrfunktion

- f(x+), f(x-)
- Wertebereich monotoner Funktionen
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Tangens
- Arcustangens

Differenzieren

Vorlesung Nr.16
Aufgezeichnet am 03.01.2011 | 401 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- lokale Extrema
-Mittelwertsatz
- Monotoniebereiche
- konvex (linksgekrümmt)

Differenzieren

Vorlesung Nr.17
Aufgezeichnet am 04.01.2011 | 393 Aufrufe

01:26 h

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Inhalt:
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- Natürlicher Logarithmus
- Allgemeine Potenzen
- Ableitung von ax
- Logartihmus zur Basis a
- Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
- ex als Grenzwert bei Verzinsung

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.18
Aufgezeichnet am 10.01.2011 | 970 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1 Stammfunktionen

- Einige Beispiele
- Partielle Integration
- Elementare Transformationen, Linearität
- Substitutionsregel
- Das bestimmte Integral

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.19
Aufgezeichnet am 11.01.2011 | 451 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.1. Stammfunktionen

- Beispiele für bestimmte Integrale, Flächeninhalt des Kreises
- 6.2 y' + f y = g
- Beispiel

Differenzialgleichungen

Vorlesung Nr.20
Aufgezeichnet am 17.01.2011 | 431 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.2 y' +f y = g

- Anleitung zur Lösung von y' + f y = g
- Ein Anfangswertproblem mit vielen Lösungen
- 6.3 Eindeutigkeit der Lösung bei der Pendelgleichung
- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Differenzialgleichungen und Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr.21
Aufgezeichnet am 18.01.2011 | 404 Aufrufe

01:27 h

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Inhalt:
6. Differenzialgleichungen 6.4 Trennung der Variablen 7. Gleichmäßige Konvergenz

- Einführendes Beispiel 1
- Beispiel 2: Explosion der Lösung
- Beispiel 3: AWP nicht eindeutig lösbar
- Definition der gleichmäßigen Konvergenz
- Stetigkeit der Grenzfunktion

Gleichmäßige Konvergenz

Vorlesung Nr.22
Aufgezeichnet am 24.01.2011 | 341 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz

- Wiederholung
- Differenzierbarkeit der Grenzfunktion
- e- Funktion
- Sinus und Kosinus
- Tabelle zu Konvergenzregeln
- Ableitung von Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzradius

Gleichmäßige Konvergenz und Taylorformeln

Vorlesung Nr.23
Aufgezeichnet am 25.01.2011 | 415 Aufrufe

01:29 h

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Inhalt:
7. Gleichmäßige Konvergenz 8. Taylorformeln

- Wiederholung
- Cauchy-Folgen
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Konvergenz von Stammfunktionen
- Äquivalenz der Definitionen von Sinus (Kosinus)
- Taylorformeln

Taylorformeln

Vorlesung Nr.24
Aufgezeichnet am 31.01.2011 | 497 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
8. Taylorformeln

- Bilder zur Taylorapproximation
- Taylorformeln
- l'Hospital
- Beweis der Taylorformeln
- Taylorpolynome und - Reihen
- Beispiel: ln(1+x)

Das Integral

Vorlesung Nr.25
Aufgezeichnet am 01.02.2011 | 847 Aufrufe

01:28 h

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Inhalt:
9. Das Integral

- Ziele
- Approximation durch Polygonzüge
- Herleitung der Trapezsummenformel
- Integral und Flächeninhalt
- Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Beispiel

Das Integral

Vorlesung Nr.26
Aufgezeichnet am 07.02.2011 | 655 Aufrufe

01:31 h

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Inhalt:
9. Das Integral

- Fortsetzung des Beispiels
- Beweis der Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Längen von Kurven

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