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Lineare Algebra und diskrete Strukturen III

von Dr. Markus Nieß

Semester: Wintersemester 2013/2014

Vorlesungskennung: W 0230

17:30 Std1.430 Aufrufe07.10.2013
Kamera Stefan Zimmer
Marvin Zägel

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Vorlesungen


Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)

Vorlesung Nr. 1

19:59 Min23.09.2013395 Aufrufe

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Inhalt:
Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)

Definitheit linearer Abbildungen

Vorlesung Nr. 2

59:30 Min23.09.2013152 Aufrufe

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Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.1 Definitheit linearer Abbildungen:
8.51 Definition (Definitheit)
8.52 Bemerkung
8.53 Satz (Charakterisierung positiv semidefiniter Abbildungen)
Beweis von Satz 8.53
8.53 Satz (Charakterisierung positiv definiter Abbildungen)
8.54 Bemerkung

QR-Zerlegung

Vorlesung Nr. 3

50:48 Min24.09.201390 Aufrufe

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Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.2 QR-Zerlegung:
8.55 Satz (QR-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.55
8.56 Bemerkung
8.57 Beispiel

Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung

Vorlesung Nr. 4

01:22 Std25.09.2013115 Aufrufe

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Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.3 Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung:
8.58 Bemerkung (Definitheit von Matrizen)
8.59 Definition (Hauptminoren)
8.60 (Hilfs-)Satz
8.61 Satz (Hurwitzsches Definitheitskriterium)
Beweis von Satz 8.61
8.62 Satz (2x2-Matrizen)
8.63 Satz (Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.63
8.64 Bemerkung (Eindeutigkeit der Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Bem. 8.64

Singulärwertzerlegung

Vorlesung Nr. 5

53:07 Min24.09.201361 Aufrufe

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Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.4 Singulärwertzerlegung:
8.65 Definition (Singulärwerte)
8.66 Satz (Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen)
Beweis von Satz 8.66
8.67 Bemerkung (Singulärwertzerlegung von Matrizen)
Anwendung (Bildkompression)

Triangulierung/Trigonalisierung

Vorlesung Nr. 6

01:10 Std14.10.201364 Aufrufe

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Inhalt:
9.1 Triangulierung/Trigonalisierung:
9.1 Definition (invarianter Unterraum)
9.2 Satz
Beweis von Satz 9.2
9.3 Bemerkung
9.4 Definition (Triangulierbarkeit)
9.5 Satz (Charakterisierung triangulierbarer Abbildungen)
Beweisschritt (a) -> (b) von Satz 9.5
Beweisschritt (b) -> (a) von Satz 9.5

Satz von Cayley-Hamilton

Vorlesung Nr. 7

01:11 Std15.10.201384 Aufrufe

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Inhalt:
9.2 Satz von Cayley-Hamilton:
9.6 Definition (Potenzen/Polynome linearer Abbildungen, Matrixpolynome)
9.7 Bemerkung (Rechenregeln zu Polynomen linearer Abbildungen)
Beweis von Bem. 9.7
Motivation zum Satz von Cayley-Hamilton
Satz 9.8 (Cayley-Hamilton)
Beweisteil 1 (K=C) von Satz 9.8
Beweisteil 2 (K=R) von Satz 9.8
9.9 Beispiel

Minimalpolynome

Vorlesung Nr. 8

36:51 Min08.11.201360 Aufrufe

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Inhalt:
9.3 Minimalpolynome:
9.10 Definition (Minimalpolynom)
9.10 Bemerkung (Wohldefiniertheit des Minimalpolynoms)
9.11 (Hilfs-)Satz (Polynomdivision mit Rest)
Beweis von Satz 9.11 (nur Eindeutigkeit der Polynomdivision)
9.12 (Hilfs-)Satz
Beweis von Satz 9.12
9.13 Satz (Gestalt des Minimalpolynoms triangulierbarer Abbildungen)
Beweis von Satz 9.13.1

Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung

Vorlesung Nr. 9

01:28 Std08.11.201375 Aufrufe

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Inhalt:
9.4 Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung:
9.14 Satz
Beweisschritt 1 von (i)
Beweisschritt 2 von Teilaussagen von (ii), (iii)
Beweisschritt 3 (S bijektiv)
Beweisschritt 4 (Frobeniussche Kovarianten, Spektralzerlegung)
Beweisschritt 5 (Konklusion)
9.15 Definition u. 9.16 Bemerkung (Hauptvektor, Stufen, Hauptraum)
9.17 Satz (Hauptraumzerlegung)
Beweis von Satz 9.17.3

Nilpotente Operatoren

Vorlesung Nr. 10

01:29 Std29.11.201340 Aufrufe

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Inhalt:
9.5 Nilpotente Operatoren:
9.18 Definition (Nilpotente Abbildungen und Matrizen)
9.19 Beispiel
9.20 Satz (Charakterisierung nilpotenter Operatoren)
9.21.1 Satz und Beweis (Vektoren abfallender Ketten sind linear unabhängig)
9.21.2 Satz und Beweis (Basis bestehend aus abfallenden Ketten nilpotenter Operatoren)
9.22 Beispiel (Fortführung von 9.19)
9.23 Bemerkung (Koeffientenmatrix nilpotenter Operatoren bzgl. der Basis bestehend aus abfallenden Ketten)

Jordansche Normalform und ihre Berechnung

Vorlesung Nr. 11

01:41 Std06.12.201375 Aufrufe

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Inhalt:
9.6 Jordansche Normalform und ihre Berechnung:
9.24 Definition (Jordan-Matrix bzw. Jordan-Block)
9.25 Satz (Jordansche Normalform)
Beweisschritt 1 (Hauptraumzerlegung liefert Blockdiagonalgestalt)
Beweisschritt 2 (Gestalt der Blöcke mittels Basen aus abfallenden Ketten)
9.26 Definition (Weyrsche Charakteristiken)
9.27 Satz (Anzahl Jordanblöcke einer vorgegebenen Größe)
Beweisschritt 1
Beweisschritt 2a
Beweisschritt 2b
9.28.1 Bemerkung (Jordansche Normalform triangulierbarer Matrizen)
9.28.2 Bemerkung (Jordansche Normalform nicht triangulierbarer, reeller Matrizen)
9.29 Bemerkung (Berechnung der Jordanschen Normalform)
9.30 Beispiel, Teil 1 (Weyrsche Charakteristiken, Gestalt von J)
9.30 Beispiel, Teil 2a (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie es nicht geht)
9.30 Beispiel, Teil 2b (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie man es machen sollte)

Matrix-Exponentialfunktion

Vorlesung Nr. 12

01:26 Std14.12.201366 Aufrufe

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Inhalt:
Einführung (Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
Motivation (Übertragung des skalaren Falls)
Matrix-Exponentialfunktion:
10.1 Definition (Matrix-Exponentialfunktion)
10.2 Satz (Konvergenzradius und Ableitung der Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.2.1 (Konvergenzradius)
Beweis von Satz 10.2.2 (Ableitung)
10.3 Bemerkung
10.4 Satz (Rechenregeln zur Matrix-Exponentialfunktion)
10.4.1 (Funktionalgleichung im Falle kommutierender Matrizen)
10.4.2 (Matrix-Exponentialfunktionen ähnlicher Matrizen)
10.4.3 (Matrix-Exponentialfunktion von Blockdiagonalmatrizen)
10.4.4 (Matrix-Exponentialfunktion von Jordanblöcken)

Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems

Vorlesung Nr. 13

01:49 Std10.01.201468 Aufrufe

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Inhalt:
Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.5.1 Satz (Eindeutige Lösung des AWP dargestellt mit
Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.5.1
10.5.2 Satz (Fundamentalsystem und -matrix von y'=Ay) und Beweis
10.6 Bemerkung
10.7 Satz (A diagonalisierbar, komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.7
10.8 Beispiel
10.9 (Hilfs-)Satz
10.10 Satz (A diagonalisierbar, reelles Fundamentalsystem) und Beweisschritt 1 Beweisschritt 2 von Satz 10.10
10.11 Beispiel
10.12.1 Satz (A beliebig, komplexes Fundamentalsystem)
10.12.2 Satz (A beliebig, reelles Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.12.1
10.13 Bemerkung (Darstellung der Lösungsfunktion mit Hauptvektoren)
10.14 Beispiel

Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems

Vorlesung Nr. 14

01:22 Std17.01.201432 Aufrufe

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Inhalt:
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.15 Lemma
10.16 Definition (Differentialoperator P(D))
10.17 Satz (komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.17
10.18 Satz (reelles Fundamentalsystem)
10.19 Beispiel (Federpendel)
Fall 1 (Grenzfall)
Fall 2 (starke Reibung)
Fall 3 (schwache Reibung)

Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL

Vorlesung Nr. 15

47:14 Min17.01.201453 Aufrufe

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Inhalt:
Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL:
10.20 Satz (Ansatzmethoden)
10.21.1 Beispiel
10.21.2 Beispiel (Resonanzkatastrophe)
Definition (Euler-DGL)
10.22 Beispiel


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