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Lineare Algebra und diskrete Strukturen III

von Dr. Markus Nieß

Beschreibung

- Normale Endomorphismen
Enthält Detaildiskussionen von
Hermiteschen (symmetrischen) Endomorphismen
Unitären (orthogonalen) Endomorphismen
Spektralsätze für diagonalisierbare und für normale Endomorphismen
- Normalformen, Allgemeine Spektraltheorie
Äquivalenz und Ähnlichkeit von nxn-Matrizen
Nilpotente Endomorphismen
Allgemeiner Spektralsatz, Jordansche Normalform
Anwendung: Lösung von Systemen linearer Differentialgleichungen

10.2013

Vorlesungsaufzeichnungen

Autoplay
23.09.201319:59486
Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)
Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)
23.09.201359:30183
Definitheit linearer Abbildungen
8.5 Definite Operatoren:
8.5.1 Definitheit linearer Abbildungen:
8.51 Definition (Definitheit)
8.52 Bemerkung
8.53 Satz (Charakterisierung positiv semidefiniter Abbildungen)
Beweis von Satz 8.53
8.53 Satz (Charakterisierung positiv definiter Abbildungen)
8.54 Bemerkung
24.09.201350:48105
QR-Zerlegung
8.5 Definite Operatoren:
8.5.2 QR-Zerlegung:
8.55 Satz (QR-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.55
8.56 Bemerkung
8.57 Beispiel
25.09.201301:22:54130
Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung
8.5 Definite Operatoren:
8.5.3 Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung:
8.58 Bemerkung (Definitheit von Matrizen)
8.59 Definition (Hauptminoren)
8.60 (Hilfs-)Satz
8.61 Satz (Hurwitzsches Definitheitskriterium)
Beweis von Satz 8.61
8.62 Satz (2x2-Matrizen)
8.63 Satz (Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.63
8.64 Bemerkung (Eindeutigkeit der Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Bem. 8.64
24.09.201353:0778
Singulärwertzerlegung
8.5 Definite Operatoren:
8.5.4 Singulärwertzerlegung:
8.65 Definition (Singulärwerte)
8.66 Satz (Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen)
Beweis von Satz 8.66
8.67 Bemerkung (Singulärwertzerlegung von Matrizen)
Anwendung (Bildkompression)
14.10.201301:10:1781
Triangulierung/Trigonalisierung
9.1 Triangulierung/Trigonalisierung:
9.1 Definition (invarianter Unterraum)
9.2 Satz
Beweis von Satz 9.2
9.3 Bemerkung
9.4 Definition (Triangulierbarkeit)
9.5 Satz (Charakterisierung triangulierbarer Abbildungen)
Beweisschritt (a) -> (b) von Satz 9.5
Beweisschritt (b) -> (a) von Satz 9.5
15.10.201301:11:05106
Satz von Cayley-Hamilton
9.2 Satz von Cayley-Hamilton:
9.6 Definition (Potenzen/Polynome linearer Abbildungen, Matrixpolynome)
9.7 Bemerkung (Rechenregeln zu Polynomen linearer Abbildungen)
Beweis von Bem. 9.7
Motivation zum Satz von Cayley-Hamilton
Satz 9.8 (Cayley-Hamilton)
Beweisteil 1 (K=C) von Satz 9.8
Beweisteil 2 (K=R) von Satz 9.8
9.9 Beispiel
08.11.201336:5178
Minimalpolynome
9.3 Minimalpolynome:
9.10 Definition (Minimalpolynom)
9.10 Bemerkung (Wohldefiniertheit des Minimalpolynoms)
9.11 (Hilfs-)Satz (Polynomdivision mit Rest)
Beweis von Satz 9.11 (nur Eindeutigkeit der Polynomdivision)
9.12 (Hilfs-)Satz
Beweis von Satz 9.12
9.13 Satz (Gestalt des Minimalpolynoms triangulierbarer Abbildungen)
Beweis von Satz 9.13.1
08.11.201301:28:4496
Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung
9.4 Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung:
9.14 Satz
Beweisschritt 1 von (i)
Beweisschritt 2 von Teilaussagen von (ii), (iii)
Beweisschritt 3 (S bijektiv)
Beweisschritt 4 (Frobeniussche Kovarianten, Spektralzerlegung)
Beweisschritt 5 (Konklusion)
9.15 Definition u. 9.16 Bemerkung (Hauptvektor, Stufen, Hauptraum)
9.17 Satz (Hauptraumzerlegung)
Beweis von Satz 9.17.3
29.11.201301:29:1447
Nilpotente Operatoren
9.5 Nilpotente Operatoren:
9.18 Definition (Nilpotente Abbildungen und Matrizen)
9.19 Beispiel
9.20 Satz (Charakterisierung nilpotenter Operatoren)
9.21.1 Satz und Beweis (Vektoren abfallender Ketten sind linear unabhängig)
9.21.2 Satz und Beweis (Basis bestehend aus abfallenden Ketten nilpotenter Operatoren)
9.22 Beispiel (Fortführung von 9.19)
9.23 Bemerkung (Koeffientenmatrix nilpotenter Operatoren bzgl. der Basis bestehend aus abfallenden Ketten)
06.12.201301:41:1395
Jordansche Normalform und ihre Berechnung
9.6 Jordansche Normalform und ihre Berechnung:
9.24 Definition (Jordan-Matrix bzw. Jordan-Block)
9.25 Satz (Jordansche Normalform)
Beweisschritt 1 (Hauptraumzerlegung liefert Blockdiagonalgestalt)
Beweisschritt 2 (Gestalt der Blöcke mittels Basen aus abfallenden Ketten)
9.26 Definition (Weyrsche Charakteristiken)
9.27 Satz (Anzahl Jordanblöcke einer vorgegebenen Größe)
Beweisschritt 1
Beweisschritt 2a
Beweisschritt 2b
9.28.1 Bemerkung (Jordansche Normalform triangulierbarer Matrizen)
9.28.2 Bemerkung (Jordansche Normalform nicht triangulierbarer, reeller Matrizen)
9.29 Bemerkung (Berechnung der Jordanschen Normalform)
9.30 Beispiel, Teil 1 (Weyrsche Charakteristiken, Gestalt von J)
9.30 Beispiel, Teil 2a (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie es nicht geht)
9.30 Beispiel, Teil 2b (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie man es machen sollte)
14.12.201301:26:5180
Matrix-Exponentialfunktion
Einführung (Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
Motivation (Übertragung des skalaren Falls)
Matrix-Exponentialfunktion:
10.1 Definition (Matrix-Exponentialfunktion)
10.2 Satz (Konvergenzradius und Ableitung der Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.2.1 (Konvergenzradius)
Beweis von Satz 10.2.2 (Ableitung)
10.3 Bemerkung
10.4 Satz (Rechenregeln zur Matrix-Exponentialfunktion)
10.4.1 (Funktionalgleichung im Falle kommutierender Matrizen)
10.4.2 (Matrix-Exponentialfunktionen ähnlicher Matrizen)
10.4.3 (Matrix-Exponentialfunktion von Blockdiagonalmatrizen)
10.4.4 (Matrix-Exponentialfunktion von Jordanblöcken)
10.01.201401:49:4576
Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems
Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.5.1 Satz (Eindeutige Lösung des AWP dargestellt mit
Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.5.1
10.5.2 Satz (Fundamentalsystem und -matrix von y'=Ay) und Beweis
10.6 Bemerkung
10.7 Satz (A diagonalisierbar, komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.7
10.8 Beispiel
10.9 (Hilfs-)Satz
10.10 Satz (A diagonalisierbar, reelles Fundamentalsystem) und Beweisschritt 1 Beweisschritt 2 von Satz 10.10
10.11 Beispiel
10.12.1 Satz (A beliebig, komplexes Fundamentalsystem)
10.12.2 Satz (A beliebig, reelles Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.12.1
10.13 Bemerkung (Darstellung der Lösungsfunktion mit Hauptvektoren)
10.14 Beispiel
17.01.201401:22:4039
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.15 Lemma
10.16 Definition (Differentialoperator P(D))
10.17 Satz (komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.17
10.18 Satz (reelles Fundamentalsystem)
10.19 Beispiel (Federpendel)
Fall 1 (Grenzfall)
Fall 2 (starke Reibung)
Fall 3 (schwache Reibung)
17.01.201447:1464
Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL
Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL:
10.20 Satz (Ansatzmethoden)
10.21.1 Beispiel
10.21.2 Beispiel (Resonanzkatastrophe)
Definition (Euler-DGL)
10.22 Beispiel