Video-Server > Vorlesungen > Lineare Algebra und diskrete Strukturen III

Lineare Algebra und diskrete Strukturen III


Kamera Stefan Zimmer
Marvin Zägel
von Dr. Markus Nieß

im Wintersemester 2013/2014

Vorlesungskennung: W 0230

- Normale Endomorphismen
Enthält Detaildiskussionen von
Hermiteschen (symmetrischen) Endomorphismen
Unitären (orthogonalen) Endomorphismen
Spektralsätze für diagonalisierbare und für normale Endomorphismen
- Normalformen, Allgemeine Spektraltheorie
Äquivalenz und Ähnlichkeit von nxn-Matrizen
Nilpotente Endomorphismen
Allgemeiner Spektralsatz, Jordansche Normalform
Anwendung: Lösung von Systemen linearer Differentialgleichungen

Weitere Informationen zur Vorlesung:
Institut für Mathematik oder im Vorlesungsverzeichnis

1.365 Aufrufe

Vorlesungen


Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)

Vorlesung Nr.1
Aufgezeichnet am 23.09.2013 | 372 Aufrufe

19:59 min

Vorlesung starten

Inhalt:
Lineare Selbstabbildungen auf endlich-dimensionalen unitären Räumen (Wiederholung)

Definitheit linearer Abbildungen

Vorlesung Nr.2
Aufgezeichnet am 23.09.2013 | 137 Aufrufe

59:30 min

Vorlesung starten

Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.1 Definitheit linearer Abbildungen:
8.51 Definition (Definitheit)
8.52 Bemerkung
8.53 Satz (Charakterisierung positiv semidefiniter Abbildungen)
Beweis von Satz 8.53
8.53 Satz (Charakterisierung positiv definiter Abbildungen)
8.54 Bemerkung

QR-Zerlegung

Vorlesung Nr.3
Aufgezeichnet am 24.09.2013 | 86 Aufrufe

50:48 min

Vorlesung starten

Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.2 QR-Zerlegung:
8.55 Satz (QR-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.55
8.56 Bemerkung
8.57 Beispiel

Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung

Vorlesung Nr.4
Aufgezeichnet am 25.09.2013 | 114 Aufrufe

01:22 h

Vorlesung starten

Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.3 Definitheit von Matrizen, Cholesky-Zerlegung:
8.58 Bemerkung (Definitheit von Matrizen)
8.59 Definition (Hauptminoren)
8.60 (Hilfs-)Satz
8.61 Satz (Hurwitzsches Definitheitskriterium)
Beweis von Satz 8.61
8.62 Satz (2x2-Matrizen)
8.63 Satz (Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Satz 8.63
8.64 Bemerkung (Eindeutigkeit der Cholesky-Zerlegung)
Beweis von Bem. 8.64

Singulärwertzerlegung

Vorlesung Nr.5
Aufgezeichnet am 24.09.2013 | 61 Aufrufe

53:07 min

Vorlesung starten

Inhalt:
8.5 Definite Operatoren:
8.5.4 Singulärwertzerlegung:
8.65 Definition (Singulärwerte)
8.66 Satz (Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen)
Beweis von Satz 8.66
8.67 Bemerkung (Singulärwertzerlegung von Matrizen)
Anwendung (Bildkompression)

Triangulierung/Trigonalisierung

Vorlesung Nr.6
Aufgezeichnet am 14.10.2013 | 64 Aufrufe

01:10 h

Vorlesung starten

Inhalt:
9.1 Triangulierung/Trigonalisierung:
9.1 Definition (invarianter Unterraum)
9.2 Satz
Beweis von Satz 9.2
9.3 Bemerkung
9.4 Definition (Triangulierbarkeit)
9.5 Satz (Charakterisierung triangulierbarer Abbildungen)
Beweisschritt (a) -> (b) von Satz 9.5
Beweisschritt (b) -> (a) von Satz 9.5

Satz von Cayley-Hamilton

Vorlesung Nr.7
Aufgezeichnet am 15.10.2013 | 79 Aufrufe

01:11 h

Vorlesung starten

Inhalt:
9.2 Satz von Cayley-Hamilton:
9.6 Definition (Potenzen/Polynome linearer Abbildungen, Matrixpolynome)
9.7 Bemerkung (Rechenregeln zu Polynomen linearer Abbildungen)
Beweis von Bem. 9.7
Motivation zum Satz von Cayley-Hamilton
Satz 9.8 (Cayley-Hamilton)
Beweisteil 1 (K=C) von Satz 9.8
Beweisteil 2 (K=R) von Satz 9.8
9.9 Beispiel

Minimalpolynome

Vorlesung Nr.8
Aufgezeichnet am 08.11.2013 | 59 Aufrufe

36:51 min

Vorlesung starten

Inhalt:
9.3 Minimalpolynome:
9.10 Definition (Minimalpolynom)
9.10 Bemerkung (Wohldefiniertheit des Minimalpolynoms)
9.11 (Hilfs-)Satz (Polynomdivision mit Rest)
Beweis von Satz 9.11 (nur Eindeutigkeit der Polynomdivision)
9.12 (Hilfs-)Satz
Beweis von Satz 9.12
9.13 Satz (Gestalt des Minimalpolynoms triangulierbarer Abbildungen)
Beweis von Satz 9.13.1

Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung

Vorlesung Nr.9
Aufgezeichnet am 08.11.2013 | 71 Aufrufe

01:28 h

Vorlesung starten

Inhalt:
9.4 Hauptvektoren und Hauptraumzerlegung:
9.14 Satz
Beweisschritt 1 von (i)
Beweisschritt 2 von Teilaussagen von (ii), (iii)
Beweisschritt 3 (S bijektiv)
Beweisschritt 4 (Frobeniussche Kovarianten, Spektralzerlegung)
Beweisschritt 5 (Konklusion)
9.15 Definition u. 9.16 Bemerkung (Hauptvektor, Stufen, Hauptraum)
9.17 Satz (Hauptraumzerlegung)
Beweis von Satz 9.17.3

Nilpotente Operatoren

Vorlesung Nr.10
Aufgezeichnet am 29.11.2013 | 37 Aufrufe

01:29 h

Vorlesung starten

Inhalt:
9.5 Nilpotente Operatoren:
9.18 Definition (Nilpotente Abbildungen und Matrizen)
9.19 Beispiel
9.20 Satz (Charakterisierung nilpotenter Operatoren)
9.21.1 Satz und Beweis (Vektoren abfallender Ketten sind linear unabhängig)
9.21.2 Satz und Beweis (Basis bestehend aus abfallenden Ketten nilpotenter Operatoren)
9.22 Beispiel (Fortführung von 9.19)
9.23 Bemerkung (Koeffientenmatrix nilpotenter Operatoren bzgl. der Basis bestehend aus abfallenden Ketten)

Jordansche Normalform und ihre Berechnung

Vorlesung Nr.11
Aufgezeichnet am 06.12.2013 | 71 Aufrufe

01:41 h

Vorlesung starten

Inhalt:
9.6 Jordansche Normalform und ihre Berechnung:
9.24 Definition (Jordan-Matrix bzw. Jordan-Block)
9.25 Satz (Jordansche Normalform)
Beweisschritt 1 (Hauptraumzerlegung liefert Blockdiagonalgestalt)
Beweisschritt 2 (Gestalt der Blöcke mittels Basen aus abfallenden Ketten)
9.26 Definition (Weyrsche Charakteristiken)
9.27 Satz (Anzahl Jordanblöcke einer vorgegebenen Größe)
Beweisschritt 1
Beweisschritt 2a
Beweisschritt 2b
9.28.1 Bemerkung (Jordansche Normalform triangulierbarer Matrizen)
9.28.2 Bemerkung (Jordansche Normalform nicht triangulierbarer, reeller Matrizen)
9.29 Bemerkung (Berechnung der Jordanschen Normalform)
9.30 Beispiel, Teil 1 (Weyrsche Charakteristiken, Gestalt von J)
9.30 Beispiel, Teil 2a (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie es nicht geht)
9.30 Beispiel, Teil 2b (Hauptvektoren-Ketten bestimmen, wie man es machen sollte)

Matrix-Exponentialfunktion

Vorlesung Nr.12
Aufgezeichnet am 14.12.2013 | 66 Aufrufe

01:26 h

Vorlesung starten

Inhalt:
Einführung (Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
Motivation (Übertragung des skalaren Falls)
Matrix-Exponentialfunktion:
10.1 Definition (Matrix-Exponentialfunktion)
10.2 Satz (Konvergenzradius und Ableitung der Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.2.1 (Konvergenzradius)
Beweis von Satz 10.2.2 (Ableitung)
10.3 Bemerkung
10.4 Satz (Rechenregeln zur Matrix-Exponentialfunktion)
10.4.1 (Funktionalgleichung im Falle kommutierender Matrizen)
10.4.2 (Matrix-Exponentialfunktionen ähnlicher Matrizen)
10.4.3 (Matrix-Exponentialfunktion von Blockdiagonalmatrizen)
10.4.4 (Matrix-Exponentialfunktion von Jordanblöcken)

Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems

Vorlesung Nr.13
Aufgezeichnet am 10.01.2014 | 67 Aufrufe

01:49 h

Vorlesung starten

Inhalt:
Lineare DGL-Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.5.1 Satz (Eindeutige Lösung des AWP dargestellt mit
Matrix-Exponentialfunktion)
Beweis von Satz 10.5.1
10.5.2 Satz (Fundamentalsystem und -matrix von y'=Ay) und Beweis
10.6 Bemerkung
10.7 Satz (A diagonalisierbar, komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.7
10.8 Beispiel
10.9 (Hilfs-)Satz
10.10 Satz (A diagonalisierbar, reelles Fundamentalsystem) und Beweisschritt 1 Beweisschritt 2 von Satz 10.10
10.11 Beispiel
10.12.1 Satz (A beliebig, komplexes Fundamentalsystem)
10.12.2 Satz (A beliebig, reelles Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.12.1
10.13 Bemerkung (Darstellung der Lösungsfunktion mit Hauptvektoren)
10.14 Beispiel

Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems

Vorlesung Nr.14
Aufgezeichnet am 17.01.2014 | 30 Aufrufe

01:22 h

Vorlesung starten

Inhalt:
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten - Bestimmung eines Fundamentalsystems:
10.15 Lemma
10.16 Definition (Differentialoperator P(D))
10.17 Satz (komplexes Fundamentalsystem)
Beweis von Satz 10.17
10.18 Satz (reelles Fundamentalsystem)
10.19 Beispiel (Federpendel)
Fall 1 (Grenzfall)
Fall 2 (starke Reibung)
Fall 3 (schwache Reibung)

Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL

Vorlesung Nr.15
Aufgezeichnet am 17.01.2014 | 51 Aufrufe

47:14 min

Vorlesung starten

Inhalt:
Ansatzmethoden für spezielle Lösung / Euler-DGL:
10.20 Satz (Ansatzmethoden)
10.21.1 Beispiel
10.21.2 Beispiel (Resonanzkatastrophe)
Definition (Euler-DGL)
10.22 Beispiel

Hinweise zum Player

Bitte aktivieren Sie zur Wiedergabe JavaScript.


Impressum · Kontakt© TU Clausthal 2017