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Ingenieurmathematik I

von PD Dr. Johannes Brasche

Beschreibung

Die Studierenden sollen die grundlegenden Tatsachen aus der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie kennen lernen. Damit zusammenhängende Standardmethoden werden bereitgestellt und eingeübt. Ein ggf. später notwendiges Literaturstudium sollte aufgrund der Basiskenntnisse möglich sein.

10.2010

Vorlesungsaufzeichnungen

Autoplay
25.10.201001:13:5410.792
Das Federpendel
1. Das Federpendel
- Das Modell
- Herleitung der Pendelgleichung

1.2 Hilfsmittel
- Die Exponentialfunktion
- Ableitungsregeln

1.3 Lösung der Pendelgleichung und Anfangswertprobleme
- Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel
26.10.201001:28:383.321
Das Federpendel und Komplexe Zahlen
1.3 Lösungen der Pendelgleichung
- Aus Lösungen konstruiert man weitere Lösungen
- Das Anfangswertproblem
- Ein Beispiel zur starken Dämpfung
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung

2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
01.11.201001:28:213.517
Komplexe Zahlen
2. Komplexe Zahlen
- Einige nützliche Eigenschaften
- Gaußsche Zahlenebene und Grundbegriffe
- Kosinus und Sinus
- Addtionstheoreme und komplexe Schreibweise
- Polarform einer komplexen Zahl
- Quadratische Gleichungen
02.11.201001:26:241.753
Komplexe Zahlen
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung Pendelgleichung
- Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Von komplexen zu reellen Lösungen
- Ein Beispiel zur schwachen Dämpfung
08.11.201001:30:191.313
Komplexe Zahlen
2. Komplexe Zahlen
- Wiederholung: Komplexe Lösungen der Pendelgleichung
- Ein Beispiel für ein Anfangswertproblem
- Ein anderer Lösungsweg zum Beispiel
- Zusammenfassung zur Pendelgleichung
09.11.201001:31:252.848
Folgen und Reihen
3. Folgen und Reihen

3.1 Motivation
- Das Anfangswertproblem y'=y, y(0) = 1
- Potenzreihenansatz

3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Notation
- Ein Problem zur Illsutration
- Satz über die vollständige Induktion
- Lösung des Problems
15.11.201001:29:461.465
Folgen und Reihen
3.2 Vollständige Induktion und Rekursion
- Geometrische Summenformel
- Bernoullische Ungleichung
- Beispiel für eine Rekursionsformel, Fakultäten
- Koeffizienten der e-Funktion
- Ausblick: Approximation der e-Funktion
16.11.201001:29:401.448
Folgen und Reihen
3.3 Grenzwerte
- Folgen
- Divergenz gegen unendlich
- Beispiele und das Archimedische Axiom
- Definition des Grenzwerts
- Grenzwertsätze
22.11.201001:27:47980
Folgen und Reihen
3.3 Grenzwerte
- Wiederholung
- weitere Grenzwertsätze
- Summen, Produkte und Quotienten von Folgen
- Beispiele
- Partialsummenfolgen (Reihen)
- Die geometrische Reihe
- Grenzwert von Brüchen
23.11.201001:27:07984
Folgen und Reihen
3.3 Folgen und Reihen
-Grenzwertsätze: monotone Folgen, Ungleichungen
- Quotientenkriterium
- Beispiel zum Quotientenkriterium
- Abschätzung von e
- Alternierende Reihen
- Beispiel zu alternierenden Reihen
29.11.201001:24:331.190
Stetigkeit
4. Stetigkeit
- Motivation
- Intervallhalbierungsverfahren
- Motivation des Stetigkeitsbegriff, Definition ''stetig''
- Zwischenwertsatz
- Summen, Produkte, Quotienten stetiger Funktionen
30.11.201001:31:131.130
Stetigkeit und Differenzieren
4. Stetigkeit

- Stetigkeit verketteter Funktionen
- Urbild offener Intervalle
- Extrema

5. Differenzieren

- 5.1 Einleitung
- 5.2 Geraden
- 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele
06.12.201001:25:561.088
Differenzieren
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Wiederholung
- Beispiele
- Summen- und Produktregel
- Ableitung von Polynomen
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Beispiel zur Ketten- und Quotientenregel
- Tangens
07.12.201001:21:32603
Differenzieren
5. Differenzieren 5.3 Definitionen, Grundbegriffe, Beispiele

- Kettenregel
- injektiv, Umkehrfunktion
- Beispiele: Wurzelfunktion, e-Funktion
- Ableitung der Wurzelfunktion
13.12.201001:30:49539
Differenzieren
5.4 Anschauliche Bedeutung der Ableitung

5.5 Die Umkehrfunktion

- f(x+), f(x-)
- Wertebereich monotoner Funktionen
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Tangens
- Arcustangens
03.01.201101:31:37530
Differenzieren
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- lokale Extrema
-Mittelwertsatz
- Monotoniebereiche
- konvex (linksgekrümmt)
04.01.201101:26:40521
Differenzieren
5. Differenzieren 5.7 Die Exponentialfunktion

- Natürlicher Logarithmus
- Allgemeine Potenzen
- Ableitung von ax
- Logartihmus zur Basis a
- Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen
- ex als Grenzwert bei Verzinsung
10.01.201101:29:351.250
Differenzialgleichungen
6. Differenzialgleichungen 6.1 Stammfunktionen

- Einige Beispiele
- Partielle Integration
- Elementare Transformationen, Linearität
- Substitutionsregel
- Das bestimmte Integral
11.01.201101:29:26631
Differenzialgleichungen
6. Differenzialgleichungen 6.1. Stammfunktionen

- Beispiele für bestimmte Integrale, Flächeninhalt des Kreises
- 6.2 y' + f y = g
- Beispiel
17.01.201101:27:57570
Differenzialgleichungen
6. Differenzialgleichungen 6.2 y' +f y = g

- Anleitung zur Lösung von y' + f y = g
- Ein Anfangswertproblem mit vielen Lösungen
- 6.3 Eindeutigkeit der Lösung bei der Pendelgleichung
- Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
18.01.201101:27:48511
Differenzialgleichungen und Gleichmäßige Konvergenz
6. Differenzialgleichungen 6.4 Trennung der Variablen 7. Gleichmäßige Konvergenz

- Einführendes Beispiel 1
- Beispiel 2: Explosion der Lösung
- Beispiel 3: AWP nicht eindeutig lösbar
- Definition der gleichmäßigen Konvergenz
- Stetigkeit der Grenzfunktion
24.01.201101:28:25432
Gleichmäßige Konvergenz
7. Gleichmäßige Konvergenz

- Wiederholung
- Differenzierbarkeit der Grenzfunktion
- e- Funktion
- Sinus und Kosinus
- Tabelle zu Konvergenzregeln
- Ableitung von Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzradius
25.01.201101:29:26523
Gleichmäßige Konvergenz und Taylorformeln
7. Gleichmäßige Konvergenz 8. Taylorformeln

- Wiederholung
- Cauchy-Folgen
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Konvergenz von Stammfunktionen
- Äquivalenz der Definitionen von Sinus (Kosinus)
- Taylorformeln
31.01.201101:28:27631
Taylorformeln
8. Taylorformeln

- Bilder zur Taylorapproximation
- Taylorformeln
- l'Hospital
- Beweis der Taylorformeln
- Taylorpolynome und - Reihen
- Beispiel: ln(1+x)
01.02.201101:28:371.072
Das Integral
9. Das Integral

- Ziele
- Approximation durch Polygonzüge
- Herleitung der Trapezsummenformel
- Integral und Flächeninhalt
- Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Beispiel
07.02.201101:31:31817
Das Integral
9. Das Integral

- Fortsetzung des Beispiels
- Beweis der Fehlerabschätzung bei der Trapezsummenformel
- Längen von Kurven